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Theorem mzpadd

Description: The pointwise sum of two polynomial functions is a polynomial function. See also mzpaddmpt . (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014)

Ref Expression
Assertion mzpadd 
|- ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( A oF + B ) e. ( mzPoly ` V ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elfvex 
 |-  ( A e. ( mzPoly ` V ) -> V e. _V )
2 1 adantr 
 |-  ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> V e. _V )
3 mzpincl 
 |-  ( V e. _V -> ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) )
4 2 3 syl 
 |-  ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) )
5 mzpcl34 
 |-  ( ( ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) /\ A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( ( A oF + B ) e. ( mzPoly ` V ) /\ ( A oF x. B ) e. ( mzPoly ` V ) ) )
6 5 3expib 
 |-  ( ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) -> ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( ( A oF + B ) e. ( mzPoly ` V ) /\ ( A oF x. B ) e. ( mzPoly ` V ) ) ) )
7 4 6 mpcom 
 |-  ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( ( A oF + B ) e. ( mzPoly ` V ) /\ ( A oF x. B ) e. ( mzPoly ` V ) ) )
8 7 simpld 
 |-  ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( A oF + B ) e. ( mzPoly ` V ) )