Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mzpval |
|- ( V e. _V -> ( mzPoly ` V ) = |^| ( mzPolyCld ` V ) ) |
2 |
|
mzpclall |
|- ( V e. _V -> ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) e. ( mzPolyCld ` V ) ) |
3 |
|
intss1 |
|- ( ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) e. ( mzPolyCld ` V ) -> |^| ( mzPolyCld ` V ) C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( V e. _V -> |^| ( mzPolyCld ` V ) C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) ) |
5 |
|
simpr |
|- ( ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) /\ a e. ( mzPolyCld ` V ) ) -> a e. ( mzPolyCld ` V ) ) |
6 |
|
simplr |
|- ( ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) /\ a e. ( mzPolyCld ` V ) ) -> f e. ZZ ) |
7 |
|
mzpcl1 |
|- ( ( a e. ( mzPolyCld ` V ) /\ f e. ZZ ) -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. a ) |
8 |
5 6 7
|
syl2anc |
|- ( ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) /\ a e. ( mzPolyCld ` V ) ) -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. a ) |
9 |
8
|
ralrimiva |
|- ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) -> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. a ) |
10 |
|
ovex |
|- ( ZZ ^m V ) e. _V |
11 |
|
snex |
|- { f } e. _V |
12 |
10 11
|
xpex |
|- ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. _V |
13 |
12
|
elint2 |
|- ( ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. a ) |
14 |
9 13
|
sylibr |
|- ( ( V e. _V /\ f e. ZZ ) -> ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) |
15 |
14
|
ralrimiva |
|- ( V e. _V -> A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) |
16 |
|
simpr |
|- ( ( ( V e. _V /\ f e. V ) /\ a e. ( mzPolyCld ` V ) ) -> a e. ( mzPolyCld ` V ) ) |
17 |
|
simplr |
|- ( ( ( V e. _V /\ f e. V ) /\ a e. ( mzPolyCld ` V ) ) -> f e. V ) |
18 |
|
mzpcl2 |
|- ( ( a e. ( mzPolyCld ` V ) /\ f e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. a ) |
19 |
16 17 18
|
syl2anc |
|- ( ( ( V e. _V /\ f e. V ) /\ a e. ( mzPolyCld ` V ) ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. a ) |
20 |
19
|
ralrimiva |
|- ( ( V e. _V /\ f e. V ) -> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. a ) |
21 |
10
|
mptex |
|- ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. _V |
22 |
21
|
elint2 |
|- ( ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. a ) |
23 |
20 22
|
sylibr |
|- ( ( V e. _V /\ f e. V ) -> ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) |
24 |
23
|
ralrimiva |
|- ( V e. _V -> A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) |
25 |
15 24
|
jca |
|- ( V e. _V -> ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) ) |
26 |
|
vex |
|- f e. _V |
27 |
26
|
elint2 |
|- ( f e. |^| ( mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) f e. a ) |
28 |
|
vex |
|- g e. _V |
29 |
28
|
elint2 |
|- ( g e. |^| ( mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) g e. a ) |
30 |
|
mzpcl34 |
|- ( ( a e. ( mzPolyCld ` V ) /\ f e. a /\ g e. a ) -> ( ( f oF + g ) e. a /\ ( f oF x. g ) e. a ) ) |
31 |
30
|
3expib |
|- ( a e. ( mzPolyCld ` V ) -> ( ( f e. a /\ g e. a ) -> ( ( f oF + g ) e. a /\ ( f oF x. g ) e. a ) ) ) |
32 |
31
|
ralimia |
|- ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f e. a /\ g e. a ) -> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. a /\ ( f oF x. g ) e. a ) ) |
33 |
|
r19.26 |
|- ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f e. a /\ g e. a ) <-> ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) f e. a /\ A. a e. ( mzPolyCld ` V ) g e. a ) ) |
34 |
|
r19.26 |
|- ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. a /\ ( f oF x. g ) e. a ) <-> ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a /\ A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) ) |
35 |
32 33 34
|
3imtr3i |
|- ( ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) f e. a /\ A. a e. ( mzPolyCld ` V ) g e. a ) -> ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a /\ A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) ) |
36 |
27 29 35
|
syl2anb |
|- ( ( f e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ g e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) -> ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a /\ A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) ) |
37 |
|
ovex |
|- ( f oF + g ) e. _V |
38 |
37
|
elint2 |
|- ( ( f oF + g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a ) |
39 |
|
ovex |
|- ( f oF x. g ) e. _V |
40 |
39
|
elint2 |
|- ( ( f oF x. g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) <-> A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) |
41 |
38 40
|
anbi12i |
|- ( ( ( f oF + g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) <-> ( A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF + g ) e. a /\ A. a e. ( mzPolyCld ` V ) ( f oF x. g ) e. a ) ) |
42 |
36 41
|
sylibr |
|- ( ( f e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ g e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) -> ( ( f oF + g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) ) |
43 |
42
|
a1i |
|- ( V e. _V -> ( ( f e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ g e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) -> ( ( f oF + g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) ) ) |
44 |
43
|
ralrimivv |
|- ( V e. _V -> A. f e. |^| ( mzPolyCld ` V ) A. g e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) ) |
45 |
4 25 44
|
jca32 |
|- ( V e. _V -> ( |^| ( mzPolyCld ` V ) C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) /\ A. f e. |^| ( mzPolyCld ` V ) A. g e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) ) ) ) |
46 |
|
elmzpcl |
|- ( V e. _V -> ( |^| ( mzPolyCld ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) <-> ( |^| ( mzPolyCld ` V ) C_ ( ZZ ^m ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( A. f e. ZZ ( ( ZZ ^m V ) X. { f } ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ A. f e. V ( g e. ( ZZ ^m V ) |-> ( g ` f ) ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) /\ A. f e. |^| ( mzPolyCld ` V ) A. g e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ( ( f oF + g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) /\ ( f oF x. g ) e. |^| ( mzPolyCld ` V ) ) ) ) ) ) |
47 |
45 46
|
mpbird |
|- ( V e. _V -> |^| ( mzPolyCld ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) ) |
48 |
1 47
|
eqeltrd |
|- ( V e. _V -> ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) ) |