Theorem mzpmul

Description: The pointwise product of two polynomial functions is a polynomial function. See also mzpmulmpt . (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014)

	Ref	Expression
Assertion	mzpmul	|- ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( A oF x. B ) e. ( mzPoly ` V ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex	|- ( A e. ( mzPoly ` V ) -> V e. _V )
2	1	adantr	|- ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> V e. _V )
3		mzpincl	|- ( V e. _V -> ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) )
4	2 3	syl	|- ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) )
5		mzpcl34	|- ( ( ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) /\ A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( ( A oF + B ) e. ( mzPoly ` V ) /\ ( A oF x. B ) e. ( mzPoly ` V ) ) )
6	5	3expib	|- ( ( mzPoly ` V ) e. ( mzPolyCld ` V ) -> ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( ( A oF + B ) e. ( mzPoly ` V ) /\ ( A oF x. B ) e. ( mzPoly ` V ) ) ) )
7	4 6	mpcom	|- ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( ( A oF + B ) e. ( mzPoly ` V ) /\ ( A oF x. B ) e. ( mzPoly ` V ) ) )
8	7	simprd	|- ( ( A e. ( mzPoly ` V ) /\ B e. ( mzPoly ` V ) ) -> ( A oF x. B ) e. ( mzPoly ` V ) )