Theorem nelun

Description: Negated membership for a union. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023)

	Ref	Expression
Assertion	nelun	|- ( A = ( B u. C ) -> ( -. X e. A <-> ( -. X e. B /\ -. X e. C ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2	|- ( A = ( B u. C ) -> ( X e. A <-> X e. ( B u. C ) ) )
2		elun	|- ( X e. ( B u. C ) <-> ( X e. B \/ X e. C ) )
3	1 2	bitrdi	|- ( A = ( B u. C ) -> ( X e. A <-> ( X e. B \/ X e. C ) ) )
4	3	notbid	|- ( A = ( B u. C ) -> ( -. X e. A <-> -. ( X e. B \/ X e. C ) ) )
5		ioran	|- ( -. ( X e. B \/ X e. C ) <-> ( -. X e. B /\ -. X e. C ) )
6	4 5	bitrdi	|- ( A = ( B u. C ) -> ( -. X e. A <-> ( -. X e. B /\ -. X e. C ) ) )