Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nvs.1 |
|- X = ( BaseSet ` U ) |
2 |
|
nvs.4 |
|- S = ( .sOLD ` U ) |
3 |
|
nvs.6 |
|- N = ( normCV ` U ) |
4 |
|
eqid |
|- ( +v ` U ) = ( +v ` U ) |
5 |
|
eqid |
|- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U ) |
6 |
1 4 2 5 3
|
nvi |
|- ( U e. NrmCVec -> ( <. ( +v ` U ) , S >. e. CVecOLD /\ N : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = ( 0vec ` U ) ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x ( +v ` U ) y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) |
7 |
6
|
simp3d |
|- ( U e. NrmCVec -> A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = ( 0vec ` U ) ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x ( +v ` U ) y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) |
8 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = ( 0vec ` U ) ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x ( +v ` U ) y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) ) |
9 |
8
|
ralimi |
|- ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = ( 0vec ` U ) ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x ( +v ` U ) y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) ) |
10 |
7 9
|
syl |
|- ( U e. NrmCVec -> A. x e. X A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) ) |
11 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( y S x ) = ( y S B ) ) |
12 |
11
|
fveq2d |
|- ( x = B -> ( N ` ( y S x ) ) = ( N ` ( y S B ) ) ) |
13 |
|
fveq2 |
|- ( x = B -> ( N ` x ) = ( N ` B ) ) |
14 |
13
|
oveq2d |
|- ( x = B -> ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` B ) ) ) |
15 |
12 14
|
eqeq12d |
|- ( x = B -> ( ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) <-> ( N ` ( y S B ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` B ) ) ) ) |
16 |
|
fvoveq1 |
|- ( y = A -> ( N ` ( y S B ) ) = ( N ` ( A S B ) ) ) |
17 |
|
fveq2 |
|- ( y = A -> ( abs ` y ) = ( abs ` A ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
|- ( y = A -> ( ( abs ` y ) x. ( N ` B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( N ` B ) ) ) |
19 |
16 18
|
eqeq12d |
|- ( y = A -> ( ( N ` ( y S B ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` B ) ) <-> ( N ` ( A S B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( N ` B ) ) ) ) |
20 |
15 19
|
rspc2v |
|- ( ( B e. X /\ A e. CC ) -> ( A. x e. X A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) -> ( N ` ( A S B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( N ` B ) ) ) ) |
21 |
10 20
|
syl5 |
|- ( ( B e. X /\ A e. CC ) -> ( U e. NrmCVec -> ( N ` ( A S B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( N ` B ) ) ) ) |
22 |
21
|
3impia |
|- ( ( B e. X /\ A e. CC /\ U e. NrmCVec ) -> ( N ` ( A S B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( N ` B ) ) ) |
23 |
22
|
3com13 |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. CC /\ B e. X ) -> ( N ` ( A S B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( N ` B ) ) ) |