Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ocvlsp.v |
|- V = ( Base ` W ) |
2 |
|
ocvlsp.o |
|- ._|_ = ( ocv ` W ) |
3 |
1 2
|
ocvocv |
|- ( ( W e. PreHil /\ T C_ V ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) |
4 |
3
|
3adant2 |
|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V /\ T C_ V ) -> T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) ) |
5 |
2
|
ocv2ss |
|- ( S C_ ( ._|_ ` T ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ ( ._|_ ` S ) ) |
6 |
|
sstr2 |
|- ( T C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` T ) ) C_ ( ._|_ ` S ) -> T C_ ( ._|_ ` S ) ) ) |
7 |
4 5 6
|
syl2im |
|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V /\ T C_ V ) -> ( S C_ ( ._|_ ` T ) -> T C_ ( ._|_ ` S ) ) ) |
8 |
1 2
|
ocvocv |
|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) ) |
9 |
8
|
3adant3 |
|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V /\ T C_ V ) -> S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) ) |
10 |
2
|
ocv2ss |
|- ( T C_ ( ._|_ ` S ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ ( ._|_ ` T ) ) |
11 |
|
sstr2 |
|- ( S C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` S ) ) C_ ( ._|_ ` T ) -> S C_ ( ._|_ ` T ) ) ) |
12 |
9 10 11
|
syl2im |
|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V /\ T C_ V ) -> ( T C_ ( ._|_ ` S ) -> S C_ ( ._|_ ` T ) ) ) |
13 |
7 12
|
impbid |
|- ( ( W e. PreHil /\ S C_ V /\ T C_ V ) -> ( S C_ ( ._|_ ` T ) <-> T C_ ( ._|_ ` S ) ) ) |