Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
paddidm.s |
|- S = ( PSubSp ` K ) |
2 |
|
paddidm.p |
|- .+ = ( +P ` K ) |
3 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> K e. HL ) |
4 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
5 |
4 1
|
psubssat |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S ) -> X C_ ( Atoms ` K ) ) |
6 |
5
|
3adant3 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X C_ ( Atoms ` K ) ) |
7 |
4 1
|
psubssat |
|- ( ( K e. HL /\ Y e. S ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) ) |
8 |
7
|
3adant2 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) ) |
9 |
4 2
|
paddssat |
|- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
10 |
3 6 8 9
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
11 |
|
olc |
|- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) -> ( ( p e. ( X .+ Y ) \/ p e. ( X .+ Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) ) ) |
12 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
13 |
|
eqid |
|- ( join ` K ) = ( join ` K ) |
14 |
12 13 4 2
|
elpadd |
|- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( p e. ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) <-> ( ( p e. ( X .+ Y ) \/ p e. ( X .+ Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) ) ) ) |
15 |
3 10 10 14
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( p e. ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) <-> ( ( p e. ( X .+ Y ) \/ p e. ( X .+ Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) ) ) ) |
16 |
4 2
|
padd4N |
|- ( ( K e. HL /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) ) |
17 |
3 6 8 6 8 16
|
syl122anc |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) ) |
18 |
1 2
|
paddidm |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S ) -> ( X .+ X ) = X ) |
19 |
18
|
3adant3 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ X ) = X ) |
20 |
1 2
|
paddidm |
|- ( ( K e. HL /\ Y e. S ) -> ( Y .+ Y ) = Y ) |
21 |
20
|
3adant2 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( Y .+ Y ) = Y ) |
22 |
19 21
|
oveq12d |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) ) |
23 |
17 22
|
eqtrd |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) ) |
24 |
23
|
eleq2d |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( p e. ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) <-> p e. ( X .+ Y ) ) ) |
25 |
15 24
|
bitr3d |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( ( p e. ( X .+ Y ) \/ p e. ( X .+ Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) ) <-> p e. ( X .+ Y ) ) ) |
26 |
11 25
|
syl5ib |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) -> p e. ( X .+ Y ) ) ) |
27 |
26
|
expd |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) -> p e. ( X .+ Y ) ) ) ) |
28 |
27
|
ralrimiv |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) -> p e. ( X .+ Y ) ) ) |
29 |
12 13 4 1
|
ispsubsp2 |
|- ( K e. HL -> ( ( X .+ Y ) e. S <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) ( E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) -> p e. ( X .+ Y ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
3ad2ant1 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( X .+ Y ) e. S <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) ( E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) -> p e. ( X .+ Y ) ) ) ) ) |
31 |
10 28 30
|
mpbir2and |
|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S ) |