Theorem r2exlem

Description: Lemma factoring out common proof steps in r2exf an r2ex . Introduced to reduce dependencies on axioms. (Contributed by Wolf Lammen, 10-Jan-2020)

	Ref	Expression
Hypothesis	r2exlem.1	|- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
Assertion	r2exlem	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r2exlem.1	|- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
2		exnal	|- ( E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
3	2 1	xchbinxr	|- ( E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ph )
4		exnalimn	|- ( E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
5	4	exbii	|- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
6		ralnex2	|- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> -. E. x e. A E. y e. B ph )
7	6	con2bii	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ph )
8	3 5 7	3bitr4ri	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )