Theorem ralcom4f

Description: Commutation of restricted and unrestricted universal quantifiers. (Contributed by NM, 26-Mar-2004) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011) (Revised by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017)

	Ref	Expression
Hypothesis	ralcom4f.1	|- F/_ y A
Assertion	ralcom4f	|- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom4f.1	|- F/_ y A
2		nfcv	|- F/_ x _V
3	1 2	ralcomf	|- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. y e. _V A. x e. A ph )
4		ralv	|- ( A. y e. _V ph <-> A. y ph )
5	4	ralbii	|- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. x e. A A. y ph )
6		ralv	|- ( A. y e. _V A. x e. A ph <-> A. y A. x e. A ph )
7	3 5 6	3bitr3i	|- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )