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Theorem readdcnnred

Description: The sum of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023)

Ref Expression
Hypotheses recnaddnred.a
|- ( ph -> A e. RR )
recnaddnred.b
|- ( ph -> B e. ( CC \ RR ) )
Assertion readdcnnred
|- ( ph -> ( A + B ) e/ RR )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 recnaddnred.a
 |-  ( ph -> A e. RR )
2 recnaddnred.b
 |-  ( ph -> B e. ( CC \ RR ) )
3 2 eldifbd
 |-  ( ph -> -. B e. RR )
4 df-nel
 |-  ( ( A + B ) e/ RR <-> -. ( A + B ) e. RR )
5 1 recnd
 |-  ( ph -> A e. CC )
6 2 eldifad
 |-  ( ph -> B e. CC )
7 5 6 addcld
 |-  ( ph -> ( A + B ) e. CC )
8 reim0b
 |-  ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) e. RR <-> ( Im ` ( A + B ) ) = 0 ) )
9 7 8 syl
 |-  ( ph -> ( ( A + B ) e. RR <-> ( Im ` ( A + B ) ) = 0 ) )
10 1 reim0d
 |-  ( ph -> ( Im ` A ) = 0 )
11 10 oveq1d
 |-  ( ph -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) = ( 0 + ( Im ` B ) ) )
12 6 imcld
 |-  ( ph -> ( Im ` B ) e. RR )
13 12 recnd
 |-  ( ph -> ( Im ` B ) e. CC )
14 13 addid2d
 |-  ( ph -> ( 0 + ( Im ` B ) ) = ( Im ` B ) )
15 11 14 eqtrd
 |-  ( ph -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) = ( Im ` B ) )
16 15 eqeq1d
 |-  ( ph -> ( ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) = 0 <-> ( Im ` B ) = 0 ) )
17 5 6 imaddd
 |-  ( ph -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) )
18 17 eqeq1d
 |-  ( ph -> ( ( Im ` ( A + B ) ) = 0 <-> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) = 0 ) )
19 reim0b
 |-  ( B e. CC -> ( B e. RR <-> ( Im ` B ) = 0 ) )
20 6 19 syl
 |-  ( ph -> ( B e. RR <-> ( Im ` B ) = 0 ) )
21 16 18 20 3bitr4d
 |-  ( ph -> ( ( Im ` ( A + B ) ) = 0 <-> B e. RR ) )
22 9 21 bitrd
 |-  ( ph -> ( ( A + B ) e. RR <-> B e. RR ) )
23 22 notbid
 |-  ( ph -> ( -. ( A + B ) e. RR <-> -. B e. RR ) )
24 4 23 syl5bb
 |-  ( ph -> ( ( A + B ) e/ RR <-> -. B e. RR ) )
25 3 24 mpbird
 |-  ( ph -> ( A + B ) e/ RR )