Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
recnaddnred.a |
|- ( ph -> A e. RR ) |
2 |
|
recnaddnred.b |
|- ( ph -> B e. ( CC \ RR ) ) |
3 |
2
|
eldifbd |
|- ( ph -> -. B e. RR ) |
4 |
|
df-nel |
|- ( ( A + B ) e/ RR <-> -. ( A + B ) e. RR ) |
5 |
1
|
recnd |
|- ( ph -> A e. CC ) |
6 |
2
|
eldifad |
|- ( ph -> B e. CC ) |
7 |
5 6
|
addcld |
|- ( ph -> ( A + B ) e. CC ) |
8 |
|
reim0b |
|- ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) e. RR <-> ( Im ` ( A + B ) ) = 0 ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ph -> ( ( A + B ) e. RR <-> ( Im ` ( A + B ) ) = 0 ) ) |
10 |
1
|
reim0d |
|- ( ph -> ( Im ` A ) = 0 ) |
11 |
10
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) = ( 0 + ( Im ` B ) ) ) |
12 |
6
|
imcld |
|- ( ph -> ( Im ` B ) e. RR ) |
13 |
12
|
recnd |
|- ( ph -> ( Im ` B ) e. CC ) |
14 |
13
|
addid2d |
|- ( ph -> ( 0 + ( Im ` B ) ) = ( Im ` B ) ) |
15 |
11 14
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) = ( Im ` B ) ) |
16 |
15
|
eqeq1d |
|- ( ph -> ( ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) = 0 <-> ( Im ` B ) = 0 ) ) |
17 |
5 6
|
imaddd |
|- ( ph -> ( Im ` ( A + B ) ) = ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) |
18 |
17
|
eqeq1d |
|- ( ph -> ( ( Im ` ( A + B ) ) = 0 <-> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) = 0 ) ) |
19 |
|
reim0b |
|- ( B e. CC -> ( B e. RR <-> ( Im ` B ) = 0 ) ) |
20 |
6 19
|
syl |
|- ( ph -> ( B e. RR <-> ( Im ` B ) = 0 ) ) |
21 |
16 18 20
|
3bitr4d |
|- ( ph -> ( ( Im ` ( A + B ) ) = 0 <-> B e. RR ) ) |
22 |
9 21
|
bitrd |
|- ( ph -> ( ( A + B ) e. RR <-> B e. RR ) ) |
23 |
22
|
notbid |
|- ( ph -> ( -. ( A + B ) e. RR <-> -. B e. RR ) ) |
24 |
4 23
|
syl5bb |
|- ( ph -> ( ( A + B ) e/ RR <-> -. B e. RR ) ) |
25 |
3 24
|
mpbird |
|- ( ph -> ( A + B ) e/ RR ) |