Theorem replem

Description: A lemma for variants of the axiom of replacement: if we can form the set of images of the functional relation, then we can also form a set containing all its images. The converse requires the axiom of separation. (Contributed by BJ, 5-Apr-2026)

	Ref	Expression
Assertion	replem	|- ( ( A. x e. z E. y ph /\ E. w A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) ) -> E. w A. x e. z E. y e. w ph )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biimpr	|- ( ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> ( E. x e. z ph -> y e. w ) )
2		r19.23v	|- ( A. x e. z ( ph -> y e. w ) <-> ( E. x e. z ph -> y e. w ) )
3	2	biimpri	|- ( ( E. x e. z ph -> y e. w ) -> A. x e. z ( ph -> y e. w ) )
4		ancr	|- ( ( ph -> y e. w ) -> ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
5	4	ralimi	|- ( A. x e. z ( ph -> y e. w ) -> A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
6	1 3 5	3syl	|- ( ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
7	6	alimi	|- ( A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> A. y A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
8		ralcom4	|- ( A. x e. z A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) <-> A. y A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
9	8	biimpri	|- ( A. y A. x e. z ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) -> A. x e. z A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) )
10		exim	|- ( A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) -> ( E. y ph -> E. y ( y e. w /\ ph ) ) )
11		df-rex	|- ( E. y e. w ph <-> E. y ( y e. w /\ ph ) )
12	10 11	imbitrrdi	|- ( A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) -> ( E. y ph -> E. y e. w ph ) )
13	12	ralimi	|- ( A. x e. z A. y ( ph -> ( y e. w /\ ph ) ) -> A. x e. z ( E. y ph -> E. y e. w ph ) )
14	7 9 13	3syl	|- ( A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> A. x e. z ( E. y ph -> E. y e. w ph ) )
15		pm2.27	|- ( E. y ph -> ( ( E. y ph -> E. y e. w ph ) -> E. y e. w ph ) )
16	15	ral2imi	|- ( A. x e. z E. y ph -> ( A. x e. z ( E. y ph -> E. y e. w ph ) -> A. x e. z E. y e. w ph ) )
17	14 16	syl5	|- ( A. x e. z E. y ph -> ( A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> A. x e. z E. y e. w ph ) )
18	17	eximdv	|- ( A. x e. z E. y ph -> ( E. w A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) -> E. w A. x e. z E. y e. w ph ) )
19	18	imp	|- ( ( A. x e. z E. y ph /\ E. w A. y ( y e. w <-> E. x e. z ph ) ) -> E. w A. x e. z E. y e. w ph )