Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clscld.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
riin0 |
|- ( A = (/) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) = X ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ A = (/) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) = X ) |
4 |
1
|
topcld |
|- ( J e. Top -> X e. ( Clsd ` J ) ) |
5 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ A = (/) ) -> X e. ( Clsd ` J ) ) |
6 |
3 5
|
eqeltrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ A = (/) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) e. ( Clsd ` J ) ) |
7 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ A =/= (/) ) -> X e. ( Clsd ` J ) ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) ) |
9 |
|
simplr |
|- ( ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ A =/= (/) ) -> A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) |
10 |
|
iincld |
|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> |^|_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) |
11 |
8 9 10
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ A =/= (/) ) -> |^|_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) |
12 |
|
incld |
|- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ |^|_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) e. ( Clsd ` J ) ) |
13 |
7 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) /\ A =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) e. ( Clsd ` J ) ) |
14 |
6 13
|
pm2.61dane |
|- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) e. ( Clsd ` J ) ) |