Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ringcsectALTV.c |
|- C = ( RingCatALTV ` U ) |
2 |
|
ringcsectALTV.b |
|- B = ( Base ` C ) |
3 |
|
ringcsectALTV.u |
|- ( ph -> U e. V ) |
4 |
|
ringcsectALTV.x |
|- ( ph -> X e. B ) |
5 |
|
ringcsectALTV.y |
|- ( ph -> Y e. B ) |
6 |
|
ringcsectALTV.e |
|- E = ( Base ` X ) |
7 |
|
ringcsectALTV.n |
|- S = ( Sect ` C ) |
8 |
|
eqid |
|- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C ) |
9 |
|
eqid |
|- ( comp ` C ) = ( comp ` C ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Id ` C ) = ( Id ` C ) |
11 |
1
|
ringccatALTV |
|- ( U e. V -> C e. Cat ) |
12 |
3 11
|
syl |
|- ( ph -> C e. Cat ) |
13 |
2 8 9 10 7 12 4 5
|
issect |
|- ( ph -> ( F ( X S Y ) G <-> ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ G e. ( Y ( Hom ` C ) X ) /\ ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) ) ) |
14 |
1 2 3 8 4 5
|
ringchomALTV |
|- ( ph -> ( X ( Hom ` C ) Y ) = ( X RingHom Y ) ) |
15 |
14
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) <-> F e. ( X RingHom Y ) ) ) |
16 |
1 2 3 8 5 4
|
ringchomALTV |
|- ( ph -> ( Y ( Hom ` C ) X ) = ( Y RingHom X ) ) |
17 |
16
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( G e. ( Y ( Hom ` C ) X ) <-> G e. ( Y RingHom X ) ) ) |
18 |
15 17
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ G e. ( Y ( Hom ` C ) X ) ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) ) |
19 |
18
|
anbi1d |
|- ( ph -> ( ( ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ G e. ( Y ( Hom ` C ) X ) ) /\ ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) ) ) |
20 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) -> U e. V ) |
21 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) -> X e. B ) |
22 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) -> Y e. B ) |
23 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) -> F e. ( X RingHom Y ) ) |
24 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) -> G e. ( Y RingHom X ) ) |
25 |
1 2 20 9 21 22 21 23 24
|
ringccoALTV |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) -> ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( G o. F ) ) |
26 |
1 2 10 3 4 6
|
ringcidALTV |
|- ( ph -> ( ( Id ` C ) ` X ) = ( _I |` E ) ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) -> ( ( Id ` C ) ` X ) = ( _I |` E ) ) |
28 |
25 27
|
eqeq12d |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) -> ( ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) <-> ( G o. F ) = ( _I |` E ) ) ) |
29 |
28
|
pm5.32da |
|- ( ph -> ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` E ) ) ) ) |
30 |
19 29
|
bitrd |
|- ( ph -> ( ( ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ G e. ( Y ( Hom ` C ) X ) ) /\ ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` E ) ) ) ) |
31 |
|
df-3an |
|- ( ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ G e. ( Y ( Hom ` C ) X ) /\ ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) <-> ( ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ G e. ( Y ( Hom ` C ) X ) ) /\ ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) ) |
32 |
|
df-3an |
|- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` E ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` E ) ) ) |
33 |
30 31 32
|
3bitr4g |
|- ( ph -> ( ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ G e. ( Y ( Hom ` C ) X ) /\ ( G ( <. X , Y >. ( comp ` C ) X ) F ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` E ) ) ) ) |
34 |
13 33
|
bitrd |
|- ( ph -> ( F ( X S Y ) G <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` E ) ) ) ) |