Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
inss1 |
|- ( dom F i^i B ) C_ dom F |
2 |
|
ssralv |
|- ( ( dom F i^i B ) C_ dom F -> ( A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) -> A. z e. ( dom F i^i B ) ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) ) |
3 |
1 2
|
ax-mp |
|- ( A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) -> A. z e. ( dom F i^i B ) ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) |
4 |
3
|
reximi |
|- ( E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) -> E. y e. RR A. z e. ( dom F i^i B ) ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) |
5 |
4
|
ralimi |
|- ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. ( dom F i^i B ) ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) |
6 |
5
|
anim2i |
|- ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. ( dom F i^i B ) ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) ) |
7 |
6
|
a1i |
|- ( F ~~>r A -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. ( dom F i^i B ) ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) ) ) |
8 |
|
rlimf |
|- ( F ~~>r A -> F : dom F --> CC ) |
9 |
|
rlimss |
|- ( F ~~>r A -> dom F C_ RR ) |
10 |
|
eqidd |
|- ( ( F ~~>r A /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) ) |
11 |
8 9 10
|
rlim |
|- ( F ~~>r A -> ( F ~~>r A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. dom F ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) ) ) |
12 |
|
fssres |
|- ( ( F : dom F --> CC /\ ( dom F i^i B ) C_ dom F ) -> ( F |` ( dom F i^i B ) ) : ( dom F i^i B ) --> CC ) |
13 |
8 1 12
|
sylancl |
|- ( F ~~>r A -> ( F |` ( dom F i^i B ) ) : ( dom F i^i B ) --> CC ) |
14 |
|
resres |
|- ( ( F |` dom F ) |` B ) = ( F |` ( dom F i^i B ) ) |
15 |
|
ffn |
|- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F ) |
16 |
|
fnresdm |
|- ( F Fn dom F -> ( F |` dom F ) = F ) |
17 |
8 15 16
|
3syl |
|- ( F ~~>r A -> ( F |` dom F ) = F ) |
18 |
17
|
reseq1d |
|- ( F ~~>r A -> ( ( F |` dom F ) |` B ) = ( F |` B ) ) |
19 |
14 18
|
eqtr3id |
|- ( F ~~>r A -> ( F |` ( dom F i^i B ) ) = ( F |` B ) ) |
20 |
19
|
feq1d |
|- ( F ~~>r A -> ( ( F |` ( dom F i^i B ) ) : ( dom F i^i B ) --> CC <-> ( F |` B ) : ( dom F i^i B ) --> CC ) ) |
21 |
13 20
|
mpbid |
|- ( F ~~>r A -> ( F |` B ) : ( dom F i^i B ) --> CC ) |
22 |
1 9
|
sstrid |
|- ( F ~~>r A -> ( dom F i^i B ) C_ RR ) |
23 |
|
elinel2 |
|- ( z e. ( dom F i^i B ) -> z e. B ) |
24 |
23
|
fvresd |
|- ( z e. ( dom F i^i B ) -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) ) |
25 |
24
|
adantl |
|- ( ( F ~~>r A /\ z e. ( dom F i^i B ) ) -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) ) |
26 |
21 22 25
|
rlim |
|- ( F ~~>r A -> ( ( F |` B ) ~~>r A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. ( dom F i^i B ) ( y <_ z -> ( abs ` ( ( F ` z ) - A ) ) < x ) ) ) ) |
27 |
7 11 26
|
3imtr4d |
|- ( F ~~>r A -> ( F ~~>r A -> ( F |` B ) ~~>r A ) ) |
28 |
27
|
pm2.43i |
|- ( F ~~>r A -> ( F |` B ) ~~>r A ) |