Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rmounid.1 |
|- ( ( ph /\ x e. B ) -> -. ps ) |
2 |
1
|
ex |
|- ( ph -> ( x e. B -> -. ps ) ) |
3 |
2
|
con2d |
|- ( ph -> ( ps -> -. x e. B ) ) |
4 |
3
|
imp |
|- ( ( ph /\ ps ) -> -. x e. B ) |
5 |
|
biorf |
|- ( -. x e. B -> ( x e. A <-> ( x e. B \/ x e. A ) ) ) |
6 |
|
orcom |
|- ( ( x e. A \/ x e. B ) <-> ( x e. B \/ x e. A ) ) |
7 |
5 6
|
bitr4di |
|- ( -. x e. B -> ( x e. A <-> ( x e. A \/ x e. B ) ) ) |
8 |
4 7
|
syl |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( x e. A <-> ( x e. A \/ x e. B ) ) ) |
9 |
|
elun |
|- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) ) |
10 |
8 9
|
bitr4di |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( x e. A <-> x e. ( A u. B ) ) ) |
11 |
10
|
pm5.32da |
|- ( ph -> ( ( ps /\ x e. A ) <-> ( ps /\ x e. ( A u. B ) ) ) ) |
12 |
11
|
biancomd |
|- ( ph -> ( ( ps /\ x e. A ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ ps ) ) ) |
13 |
12
|
bicomd |
|- ( ph -> ( ( x e. ( A u. B ) /\ ps ) <-> ( ps /\ x e. A ) ) ) |
14 |
13
|
biancomd |
|- ( ph -> ( ( x e. ( A u. B ) /\ ps ) <-> ( x e. A /\ ps ) ) ) |
15 |
14
|
mobidv |
|- ( ph -> ( E* x ( x e. ( A u. B ) /\ ps ) <-> E* x ( x e. A /\ ps ) ) ) |
16 |
|
df-rmo |
|- ( E* x e. ( A u. B ) ps <-> E* x ( x e. ( A u. B ) /\ ps ) ) |
17 |
|
df-rmo |
|- ( E* x e. A ps <-> E* x ( x e. A /\ ps ) ) |
18 |
15 16 17
|
3bitr4g |
|- ( ph -> ( E* x e. ( A u. B ) ps <-> E* x e. A ps ) ) |