Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rdgfnon |
|- rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) Fn On |
2 |
1
|
a1i |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) Fn On ) |
3 |
|
ordom |
|- Ord _om |
4 |
|
ordsuc |
|- ( Ord _om <-> Ord suc _om ) |
5 |
3 4
|
mpbi |
|- Ord suc _om |
6 |
|
ordsson |
|- ( Ord suc _om -> suc _om C_ On ) |
7 |
5 6
|
mp1i |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> suc _om C_ On ) |
8 |
2 7
|
fnssresd |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) Fn suc _om ) |
9 |
|
satf |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> ( M Sat E ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) ) |
10 |
9
|
fneq1d |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> ( ( M Sat E ) Fn suc _om <-> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) |` suc _om ) Fn suc _om ) ) |
11 |
8 10
|
mpbird |
|- ( ( M e. V /\ E e. W ) -> ( M Sat E ) Fn suc _om ) |