Theorem sbal1

Description: Check out sbal for a version not dependent on ax-13 . A theorem used in elimination of disjoint variable restriction on x and z by replacing it with a distinctor -. A. x x = z . (Contributed by NM, 15-May-1993) (Proof shortened by Wolf Lammen, 3-Oct-2018) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	sbal1	|- ( -. A. x x = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sb4b	|- ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) ) )
2		nfnae	|- F/ y -. A. x x = z
3		nfeqf2	|- ( -. A. x x = z -> F/ x y = z )
4		19.21t	|- ( F/ x y = z -> ( A. x ( y = z -> ph ) <-> ( y = z -> A. x ph ) ) )
5	4	bicomd	|- ( F/ x y = z -> ( ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x ( y = z -> ph ) ) )
6	3 5	syl	|- ( -. A. x x = z -> ( ( y = z -> A. x ph ) <-> A. x ( y = z -> ph ) ) )
7	2 6	albid	|- ( -. A. x x = z -> ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
8	1 7	sylan9bbr	|- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
9		nfnae	|- F/ x -. A. y y = z
10		sb4b	|- ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) ) )
11	9 10	albid	|- ( -. A. y y = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( y = z -> ph ) ) )
12		alcom	|- ( A. x A. y ( y = z -> ph ) <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) )
13	11 12	bitrdi	|- ( -. A. y y = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
14	13	adantl	|- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( A. x [ z / y ] ph <-> A. y A. x ( y = z -> ph ) ) )
15	8 14	bitr4d	|- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
16	15	ex	|- ( -. A. x x = z -> ( -. A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) ) )
17		sbequ12	|- ( y = z -> ( A. x ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
18	17	sps	|- ( A. y y = z -> ( A. x ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
19		sbequ12	|- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
20	19	sps	|- ( A. y y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
21	20	dral2	|- ( A. y y = z -> ( A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
22	18 21	bitr3d	|- ( A. y y = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )
23	16 22	pm2.61d2	|- ( -. A. x x = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )