Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
shel |
|- ( ( A e. SH /\ C e. A ) -> C e. ~H ) |
2 |
|
ax-hvaddid |
|- ( C e. ~H -> ( C +h 0h ) = C ) |
3 |
1 2
|
syl |
|- ( ( A e. SH /\ C e. A ) -> ( C +h 0h ) = C ) |
4 |
3
|
adantlr |
|- ( ( ( A e. SH /\ B e. SH ) /\ C e. A ) -> ( C +h 0h ) = C ) |
5 |
|
sh0 |
|- ( B e. SH -> 0h e. B ) |
6 |
5
|
adantl |
|- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> 0h e. B ) |
7 |
|
shsva |
|- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( ( C e. A /\ 0h e. B ) -> ( C +h 0h ) e. ( A +H B ) ) ) |
8 |
6 7
|
mpan2d |
|- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( C e. A -> ( C +h 0h ) e. ( A +H B ) ) ) |
9 |
8
|
imp |
|- ( ( ( A e. SH /\ B e. SH ) /\ C e. A ) -> ( C +h 0h ) e. ( A +H B ) ) |
10 |
4 9
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( A e. SH /\ B e. SH ) /\ C e. A ) -> C e. ( A +H B ) ) |
11 |
10
|
ex |
|- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( C e. A -> C e. ( A +H B ) ) ) |