Theorem sigarac

Description: Signed area is anticommutative. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017)

	Ref	Expression
Hypothesis	sigar	|- G = ( x e. CC , y e. CC |-> ( Im ` ( ( * ` x ) x. y ) ) )
Assertion	sigarac	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A G B ) = -u ( B G A ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigar	|- G = ( x e. CC , y e. CC |-> ( Im ` ( ( * ` x ) x. y ) ) )
2	1	sigarval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A G B ) = ( Im ` ( ( * ` A ) x. B ) ) )
3		cjcl	|- ( B e. CC -> ( * ` B ) e. CC )
4	3	adantl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` B ) e. CC )
5		simpl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
6	4 5	cjmuld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( ( * ` B ) x. A ) ) = ( ( * ` ( * ` B ) ) x. ( * ` A ) ) )
7		simpr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
8	7	cjcjd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( * ` B ) ) = B )
9	8	oveq1d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` ( * ` B ) ) x. ( * ` A ) ) = ( B x. ( * ` A ) ) )
10	5	cjcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` A ) e. CC )
11	7 10	mulcomd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. B ) )
12	6 9 11	3eqtrrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. B ) = ( * ` ( ( * ` B ) x. A ) ) )
13	12	fveq2d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( ( * ` A ) x. B ) ) = ( Im ` ( * ` ( ( * ` B ) x. A ) ) ) )
14	4 5	mulcld	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` B ) x. A ) e. CC )
15	14	imcjd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( * ` ( ( * ` B ) x. A ) ) ) = -u ( Im ` ( ( * ` B ) x. A ) ) )
16	2 13 15	3eqtrd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A G B ) = -u ( Im ` ( ( * ` B ) x. A ) ) )
17	1	sigarval	|- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B G A ) = ( Im ` ( ( * ` B ) x. A ) ) )
18	17	ancoms	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B G A ) = ( Im ` ( ( * ` B ) x. A ) ) )
19	18	negeqd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( B G A ) = -u ( Im ` ( ( * ` B ) x. A ) ) )
20	16 19	eqtr4d	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A G B ) = -u ( B G A ) )