Theorem sletrd

Description: Surreal less than or equal is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	slttrd.1	|- ( ph -> A e. No )
	slttrd.2	|- ( ph -> B e. No )
	slttrd.3	|- ( ph -> C e. No )
	sletrd.4	|- ( ph -> A <_s B )
	sletrd.5	|- ( ph -> B <_s C )
Assertion	sletrd	|- ( ph -> A <_s C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slttrd.1	|- ( ph -> A e. No )
2		slttrd.2	|- ( ph -> B e. No )
3		slttrd.3	|- ( ph -> C e. No )
4		sletrd.4	|- ( ph -> A <_s B )
5		sletrd.5	|- ( ph -> B <_s C )
6		sletr	|- ( ( A e. No /\ B e. No /\ C e. No ) -> ( ( A <_s B /\ B <_s C ) -> A <_s C ) )
7	1 2 3 6	syl3anc	|- ( ph -> ( ( A <_s B /\ B <_s C ) -> A <_s C ) )
8	4 5 7	mp2and	|- ( ph -> A <_s C )