Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sprvalpwn0 |
|- ( V e. W -> ( Pairs ` V ) = { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } ) |
2 |
|
hashle2prv |
|- ( p e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( ( # ` p ) <_ 2 <-> E. a e. V E. b e. V p = { a , b } ) ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( V e. W /\ p e. ( ~P V \ { (/) } ) ) -> ( ( # ` p ) <_ 2 <-> E. a e. V E. b e. V p = { a , b } ) ) |
4 |
3
|
bicomd |
|- ( ( V e. W /\ p e. ( ~P V \ { (/) } ) ) -> ( E. a e. V E. b e. V p = { a , b } <-> ( # ` p ) <_ 2 ) ) |
5 |
4
|
rabbidva |
|- ( V e. W -> { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } = { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) |
6 |
1 5
|
eqtrd |
|- ( V e. W -> ( Pairs ` V ) = { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) |