Theorem ssrab

Description: Subclass of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 16-Aug-2006)

	Ref	Expression
Assertion	ssrab	|- ( B C_ { x e. A | ph } <-> ( B C_ A /\ A. x e. B ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab	|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
2	1	sseq2i	|- ( B C_ { x e. A | ph } <-> B C_ { x | ( x e. A /\ ph ) } )
3		ssab	|- ( B C_ { x | ( x e. A /\ ph ) } <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A /\ ph ) ) )
4		dfss3	|- ( B C_ A <-> A. x e. B x e. A )
5	4	anbi1i	|- ( ( B C_ A /\ A. x e. B ph ) <-> ( A. x e. B x e. A /\ A. x e. B ph ) )
6		r19.26	|- ( A. x e. B ( x e. A /\ ph ) <-> ( A. x e. B x e. A /\ A. x e. B ph ) )
7		df-ral	|- ( A. x e. B ( x e. A /\ ph ) <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A /\ ph ) ) )
8	5 6 7	3bitr2ri	|- ( A. x ( x e. B -> ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( B C_ A /\ A. x e. B ph ) )
9	2 3 8	3bitri	|- ( B C_ { x e. A | ph } <-> ( B C_ A /\ A. x e. B ph ) )