# Metamath Proof Explorer

## Theorem ssralv2

Description: Quantification restricted to a subclass for two quantifiers. ssralv for two quantifiers. The proof of ssralv2 was automatically generated by minimizing the automatically translated proof of ssralv2VD . The automatic translation is by the tools program translate__without__overwriting.cmd. (Contributed by Alan Sare, 18-Feb-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ssralv2
`|- ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x e. A A. y e. C ph ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfv
` |-  F/ x ( A C_ B /\ C C_ D )`
2 nfra1
` |-  F/ x A. x e. B A. y e. D ph`
3 ssralv
` |-  ( A C_ B -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x e. A A. y e. D ph ) )`
` |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x e. A A. y e. D ph ) )`
5 df-ral
` |-  ( A. x e. A A. y e. D ph <-> A. x ( x e. A -> A. y e. D ph ) )`
6 4 5 syl6ib
` |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x ( x e. A -> A. y e. D ph ) ) )`
7 sp
` |-  ( A. x ( x e. A -> A. y e. D ph ) -> ( x e. A -> A. y e. D ph ) )`
8 6 7 syl6
` |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> ( x e. A -> A. y e. D ph ) ) )`
9 ssralv
` |-  ( C C_ D -> ( A. y e. D ph -> A. y e. C ph ) )`
` |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. y e. D ph -> A. y e. C ph ) )`
` |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> ( x e. A -> A. y e. C ph ) ) )`
` |-  ( ( A C_ B /\ C C_ D ) -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. x e. A A. y e. C ph ) )`