Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sssucid |
|- A C_ suc A |
2 |
|
id |
|- ( Tr A -> Tr A ) |
3 |
|
id |
|- ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> ( z e. y /\ y e. suc A ) ) |
4 |
3
|
simpld |
|- ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. y ) |
5 |
|
id |
|- ( y e. A -> y e. A ) |
6 |
2 4 5
|
trelded |
|- ( ( Tr A /\ ( z e. y /\ y e. suc A ) /\ y e. A ) -> z e. A ) |
7 |
1 6
|
sseldi |
|- ( ( Tr A /\ ( z e. y /\ y e. suc A ) /\ y e. A ) -> z e. suc A ) |
8 |
7
|
3expia |
|- ( ( Tr A /\ ( z e. y /\ y e. suc A ) ) -> ( y e. A -> z e. suc A ) ) |
9 |
|
id |
|- ( y = A -> y = A ) |
10 |
|
eleq2 |
|- ( y = A -> ( z e. y <-> z e. A ) ) |
11 |
10
|
biimpac |
|- ( ( z e. y /\ y = A ) -> z e. A ) |
12 |
4 9 11
|
syl2an |
|- ( ( ( z e. y /\ y e. suc A ) /\ y = A ) -> z e. A ) |
13 |
1 12
|
sseldi |
|- ( ( ( z e. y /\ y e. suc A ) /\ y = A ) -> z e. suc A ) |
14 |
13
|
ex |
|- ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> ( y = A -> z e. suc A ) ) |
15 |
3
|
simprd |
|- ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> y e. suc A ) |
16 |
|
elsuci |
|- ( y e. suc A -> ( y e. A \/ y = A ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> ( y e. A \/ y = A ) ) |
18 |
8 14 17
|
jaoded |
|- ( ( ( Tr A /\ ( z e. y /\ y e. suc A ) ) /\ ( z e. y /\ y e. suc A ) /\ ( z e. y /\ y e. suc A ) ) -> z e. suc A ) |
19 |
18
|
un2122 |
|- ( ( Tr A /\ ( z e. y /\ y e. suc A ) ) -> z e. suc A ) |
20 |
19
|
ex |
|- ( Tr A -> ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) ) |
21 |
20
|
alrimivv |
|- ( Tr A -> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) ) |
22 |
|
dftr2 |
|- ( Tr suc A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) ) |
23 |
22
|
biimpri |
|- ( A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) -> Tr suc A ) |
24 |
21 23
|
syl |
|- ( Tr A -> Tr suc A ) |
25 |
24
|
idiALT |
|- ( Tr A -> Tr suc A ) |