Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
swrdval |
|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F ..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0 ..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) ) |
2 |
1
|
adantr |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F ..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0 ..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) ) |
3 |
|
simpr |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> L <_ F ) |
4 |
|
3simpc |
|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) |
6 |
|
fzon |
|- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( F ..^ L ) = (/) ) ) |
7 |
5 6
|
syl |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( L <_ F <-> ( F ..^ L ) = (/) ) ) |
8 |
3 7
|
mpbid |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( F ..^ L ) = (/) ) |
9 |
|
0ss |
|- (/) C_ dom W |
10 |
8 9
|
eqsstrdi |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( F ..^ L ) C_ dom W ) |
11 |
10
|
iftrued |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> if ( ( F ..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0 ..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) = ( i e. ( 0 ..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) ) |
12 |
|
fzo0n |
|- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( 0 ..^ ( L - F ) ) = (/) ) ) |
13 |
12
|
biimpa |
|- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( 0 ..^ ( L - F ) ) = (/) ) |
14 |
13
|
3adantl1 |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( 0 ..^ ( L - F ) ) = (/) ) |
15 |
14
|
mpteq1d |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( i e. ( 0 ..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) = ( i e. (/) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) ) |
16 |
|
mpt0 |
|- ( i e. (/) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) = (/) |
17 |
15 16
|
eqtrdi |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( i e. ( 0 ..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) = (/) ) |
18 |
2 11 17
|
3eqtrd |
|- ( ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ L <_ F ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) |
19 |
18
|
ex |
|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) ) |