Theorem txswaphmeolem

Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015)

	Ref	Expression
Assertion	txswaphmeolem	|- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id	|- ( z = <. x , y >. -> z = <. x , y >. )
2	1	mpompt	|- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
3		mptresid	|- ( _I |` ( X X. Y ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> z )
4		opelxpi	|- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
5	4	ancoms	|- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
6	5	adantl	|- ( ( T. /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
7		eqidd	|- ( T. -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) )
8		sneq	|- ( z = <. y , x >. -> { z } = { <. y , x >. } )
9	8	cnveqd	|- ( z = <. y , x >. -> `' { z } = `' { <. y , x >. } )
10	9	unieqd	|- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = U. `' { <. y , x >. } )
11		opswap	|- U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >.
12	10 11	eqtrdi	|- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = <. x , y >. )
13	12	mpompt	|- ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
14	13	eqcomi	|- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } )
15	14	a1i	|- ( T. -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) )
16	6 7 15 12	fmpoco	|- ( T. -> ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. ) )
17	16	mptru	|- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
18	2 3 17	3eqtr4ri	|- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )