Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ulmres.z |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
2 |
|
ulmres.w |
|- W = ( ZZ>= ` N ) |
3 |
|
ulmres.m |
|- ( ph -> N e. Z ) |
4 |
|
ulmres.f |
|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) ) |
5 |
|
ulmscl |
|- ( F ( ~~>u ` S ) G -> S e. _V ) |
6 |
|
ulmcl |
|- ( F ( ~~>u ` S ) G -> G : S --> CC ) |
7 |
5 6
|
jca |
|- ( F ( ~~>u ` S ) G -> ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) |
8 |
7
|
a1i |
|- ( ph -> ( F ( ~~>u ` S ) G -> ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) ) |
9 |
|
ulmscl |
|- ( ( F |` W ) ( ~~>u ` S ) G -> S e. _V ) |
10 |
|
ulmcl |
|- ( ( F |` W ) ( ~~>u ` S ) G -> G : S --> CC ) |
11 |
9 10
|
jca |
|- ( ( F |` W ) ( ~~>u ` S ) G -> ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) |
12 |
11
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( F |` W ) ( ~~>u ` S ) G -> ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) ) |
13 |
3 1
|
eleqtrdi |
|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) |
15 |
|
eluzel2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> M e. ZZ ) |
17 |
1
|
rexuz3 |
|- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r ) ) |
19 |
|
eluzelz |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ ) |
20 |
14 19
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> N e. ZZ ) |
21 |
2
|
rexuz3 |
|- ( N e. ZZ -> ( E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r ) ) |
23 |
18 22
|
bitr4d |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r <-> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r ) ) |
24 |
23
|
ralbidv |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( A. r e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r <-> A. r e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r ) ) |
25 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) ) |
26 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) ) |
27 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) ) |
28 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> G : S --> CC ) |
29 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> S e. _V ) |
30 |
1 16 25 26 27 28 29
|
ulm2 |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( F ( ~~>u ` S ) G <-> A. r e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r ) ) |
31 |
|
uzss |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) ) |
32 |
14 31
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) ) |
33 |
32 2 1
|
3sstr4g |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> W C_ Z ) |
34 |
25 33
|
fssresd |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( F |` W ) : W --> ( CC ^m S ) ) |
35 |
|
fvres |
|- ( k e. W -> ( ( F |` W ) ` k ) = ( F ` k ) ) |
36 |
35
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( F |` W ) ` k ) = ( F ` k ) ) |
37 |
36
|
fveq1d |
|- ( ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) /\ ( k e. W /\ z e. S ) ) -> ( ( ( F |` W ) ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) ) |
38 |
2 20 34 37 27 28 29
|
ulm2 |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( ( F |` W ) ( ~~>u ` S ) G <-> A. r e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` k ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < r ) ) |
39 |
24 30 38
|
3bitr4d |
|- ( ( ph /\ ( S e. _V /\ G : S --> CC ) ) -> ( F ( ~~>u ` S ) G <-> ( F |` W ) ( ~~>u ` S ) G ) ) |
40 |
39
|
ex |
|- ( ph -> ( ( S e. _V /\ G : S --> CC ) -> ( F ( ~~>u ` S ) G <-> ( F |` W ) ( ~~>u ` S ) G ) ) ) |
41 |
8 12 40
|
pm5.21ndd |
|- ( ph -> ( F ( ~~>u ` S ) G <-> ( F |` W ) ( ~~>u ` S ) G ) ) |