Theorem uniss2

Description: A subclass condition on the members of two classes that implies a subclass relation on their unions. Proposition 8.6 of TakeutiZaring p. 59. See iunss2 for a generalization to indexed unions. (Contributed by NM, 22-Mar-2004)

	Ref	Expression
Assertion	uniss2	|- ( A. x e. A E. y e. B x C_ y -> U. A C_ U. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssuni	|- ( ( x C_ y /\ y e. B ) -> x C_ U. B )
2	1	expcom	|- ( y e. B -> ( x C_ y -> x C_ U. B ) )
3	2	rexlimiv	|- ( E. y e. B x C_ y -> x C_ U. B )
4	3	ralimi	|- ( A. x e. A E. y e. B x C_ y -> A. x e. A x C_ U. B )
5		unissb	|- ( U. A C_ U. B <-> A. x e. A x C_ U. B )
6	4 5	sylibr	|- ( A. x e. A E. y e. B x C_ y -> U. A C_ U. B )