Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssdif0 |
|- ( A C_ B <-> ( A \ B ) = (/) ) |
2 |
1
|
necon3bbii |
|- ( -. A C_ B <-> ( A \ B ) =/= (/) ) |
3 |
|
difss |
|- ( A \ B ) C_ A |
4 |
|
tz6.26 |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( ( A \ B ) C_ A /\ ( A \ B ) =/= (/) ) ) -> E. y e. ( A \ B ) Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) ) |
5 |
|
eldif |
|- ( y e. ( A \ B ) <-> ( y e. A /\ -. y e. B ) ) |
6 |
5
|
anbi1i |
|- ( ( y e. ( A \ B ) /\ Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) ) <-> ( ( y e. A /\ -. y e. B ) /\ Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) ) ) |
7 |
|
anass |
|- ( ( ( y e. A /\ -. y e. B ) /\ Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) ) <-> ( y e. A /\ ( -. y e. B /\ Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) ) ) ) |
8 |
|
indif2 |
|- ( ( `' R " { y } ) i^i ( A \ B ) ) = ( ( ( `' R " { y } ) i^i A ) \ B ) |
9 |
|
df-pred |
|- Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = ( ( A \ B ) i^i ( `' R " { y } ) ) |
10 |
|
incom |
|- ( ( A \ B ) i^i ( `' R " { y } ) ) = ( ( `' R " { y } ) i^i ( A \ B ) ) |
11 |
9 10
|
eqtri |
|- Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = ( ( `' R " { y } ) i^i ( A \ B ) ) |
12 |
|
df-pred |
|- Pred ( R , A , y ) = ( A i^i ( `' R " { y } ) ) |
13 |
|
incom |
|- ( A i^i ( `' R " { y } ) ) = ( ( `' R " { y } ) i^i A ) |
14 |
12 13
|
eqtri |
|- Pred ( R , A , y ) = ( ( `' R " { y } ) i^i A ) |
15 |
14
|
difeq1i |
|- ( Pred ( R , A , y ) \ B ) = ( ( ( `' R " { y } ) i^i A ) \ B ) |
16 |
8 11 15
|
3eqtr4i |
|- Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = ( Pred ( R , A , y ) \ B ) |
17 |
16
|
eqeq1i |
|- ( Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) <-> ( Pred ( R , A , y ) \ B ) = (/) ) |
18 |
|
ssdif0 |
|- ( Pred ( R , A , y ) C_ B <-> ( Pred ( R , A , y ) \ B ) = (/) ) |
19 |
17 18
|
bitr4i |
|- ( Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) <-> Pred ( R , A , y ) C_ B ) |
20 |
19
|
anbi1ci |
|- ( ( -. y e. B /\ Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) ) <-> ( Pred ( R , A , y ) C_ B /\ -. y e. B ) ) |
21 |
20
|
anbi2i |
|- ( ( y e. A /\ ( -. y e. B /\ Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) ) ) <-> ( y e. A /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ B /\ -. y e. B ) ) ) |
22 |
6 7 21
|
3bitri |
|- ( ( y e. ( A \ B ) /\ Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) ) <-> ( y e. A /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ B /\ -. y e. B ) ) ) |
23 |
22
|
rexbii2 |
|- ( E. y e. ( A \ B ) Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) <-> E. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B /\ -. y e. B ) ) |
24 |
|
rexanali |
|- ( E. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B /\ -. y e. B ) <-> -. A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) |
25 |
23 24
|
bitri |
|- ( E. y e. ( A \ B ) Pred ( R , ( A \ B ) , y ) = (/) <-> -. A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) |
26 |
4 25
|
sylib |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( ( A \ B ) C_ A /\ ( A \ B ) =/= (/) ) ) -> -. A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) |
27 |
26
|
ex |
|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> ( ( ( A \ B ) C_ A /\ ( A \ B ) =/= (/) ) -> -. A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) ) |
28 |
3 27
|
mpani |
|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> ( ( A \ B ) =/= (/) -> -. A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) ) |
29 |
2 28
|
syl5bi |
|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> ( -. A C_ B -> -. A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) ) |
30 |
29
|
con4d |
|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> ( A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) -> A C_ B ) ) |
31 |
30
|
imp |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) -> A C_ B ) |
32 |
31
|
adantrl |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) ) -> A C_ B ) |
33 |
|
simprl |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) ) -> B C_ A ) |
34 |
32 33
|
eqssd |
|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ A. y e. A ( Pred ( R , A , y ) C_ B -> y e. B ) ) ) -> A = B ) |