Theorem dedths

Description: A version of weak deduction theorem dedth using explicit substitution. (Contributed by NM, 15-Jun-2019)

	Ref	Expression
Hypothesis	dedths.1	$$⊢\underset{\dot{}}{[}if\left(\phi ,x,B\right)/x\underset{\dot{}}{]}\psi$$
Assertion	dedths	$$⊢\phi \to \psi$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedths.1	$$⊢\underset{\dot{}}{[}if\left(\phi ,x,B\right)/x\underset{\dot{}}{]}\psi$$
2		dfsbcq	$$⊢x=if\left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi ,x,B\right)\to \left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\psi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}if\left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi ,x,B\right)/x\underset{\dot{}}{]}\psi \right)$$
3		sbcid	$$⊢\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \phi$$
4		ifbi	$$⊢\left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \phi \right)\to if\left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi ,x,B\right)=if\left(\phi ,x,B\right)$$
5		dfsbcq	$$⊢if\left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi ,x,B\right)=if\left(\phi ,x,B\right)\to \left(\underset{\dot{}}{[}if\left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi ,x,B\right)/x\underset{\dot{}}{]}\psi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}if\left(\phi ,x,B\right)/x\underset{\dot{}}{]}\psi \right)$$
6	3 4 5	mp2b	$$⊢\underset{\dot{}}{[}if\left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi ,x,B\right)/x\underset{\dot{}}{]}\psi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}if\left(\phi ,x,B\right)/x\underset{\dot{}}{]}\psi$$
7	1 6	mpbir	$$⊢\underset{\dot{}}{[}if\left(\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi ,x,B\right)/x\underset{\dot{}}{]}\psi$$
8	2 7	dedth	$$⊢\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\phi \to \underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\psi$$
9		sbcid	$$⊢\underset{\dot{}}{[}x/x\underset{\dot{}}{]}\psi \leftrightarrow \psi$$
10	8 3 9	3imtr3i	$$⊢\phi \to \psi$$