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Theorem derang0

Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015)

Ref Expression
Hypothesis derang.d D = x Fin f | f : x 1-1 onto x y x f y y
Assertion derang0 D = 1

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 derang.d D = x Fin f | f : x 1-1 onto x y x f y y
2 0fin Fin
3 1 derangval Fin D = f | f : 1-1 onto y f y y
4 2 3 ax-mp D = f | f : 1-1 onto y f y y
5 ral0 y f y y
6 5 biantru f : 1-1 onto f : 1-1 onto y f y y
7 eqid =
8 f1o00 f : 1-1 onto f = =
9 7 8 mpbiran2 f : 1-1 onto f =
10 6 9 bitr3i f : 1-1 onto y f y y f =
11 10 abbii f | f : 1-1 onto y f y y = f | f =
12 df-sn = f | f =
13 11 12 eqtr4i f | f : 1-1 onto y f y y =
14 13 fveq2i f | f : 1-1 onto y f y y =
15 0ex V
16 hashsng V = 1
17 15 16 ax-mp = 1
18 4 14 17 3eqtri D = 1