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Theorem derang0

Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015)

Ref Expression
Hypothesis derang.d
|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
Assertion derang0
|- ( D ` (/) ) = 1

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 derang.d
 |-  D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
2 0fin
 |-  (/) e. Fin
3 1 derangval
 |-  ( (/) e. Fin -> ( D ` (/) ) = ( # ` { f | ( f : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. y e. (/) ( f ` y ) =/= y ) } ) )
4 2 3 ax-mp
 |-  ( D ` (/) ) = ( # ` { f | ( f : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. y e. (/) ( f ` y ) =/= y ) } )
5 ral0
 |-  A. y e. (/) ( f ` y ) =/= y
6 5 biantru
 |-  ( f : (/) -1-1-onto-> (/) <-> ( f : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. y e. (/) ( f ` y ) =/= y ) )
7 eqid
 |-  (/) = (/)
8 f1o00
 |-  ( f : (/) -1-1-onto-> (/) <-> ( f = (/) /\ (/) = (/) ) )
9 7 8 mpbiran2
 |-  ( f : (/) -1-1-onto-> (/) <-> f = (/) )
10 6 9 bitr3i
 |-  ( ( f : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. y e. (/) ( f ` y ) =/= y ) <-> f = (/) )
11 10 abbii
 |-  { f | ( f : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. y e. (/) ( f ` y ) =/= y ) } = { f | f = (/) }
12 df-sn
 |-  { (/) } = { f | f = (/) }
13 11 12 eqtr4i
 |-  { f | ( f : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. y e. (/) ( f ` y ) =/= y ) } = { (/) }
14 13 fveq2i
 |-  ( # ` { f | ( f : (/) -1-1-onto-> (/) /\ A. y e. (/) ( f ` y ) =/= y ) } ) = ( # ` { (/) } )
15 0ex
 |-  (/) e. _V
16 hashsng
 |-  ( (/) e. _V -> ( # ` { (/) } ) = 1 )
17 15 16 ax-mp
 |-  ( # ` { (/) } ) = 1
18 4 14 17 3eqtri
 |-  ( D ` (/) ) = 1