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Theorem dfnn3

Description: Alternate definition of the set of positive integers. Definition of positive integers in Apostol p. 22. (Contributed by NM, 3-Jul-2005)

Ref Expression
Assertion dfnn3 = x | x 1 x y x y + 1 x

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eleq2 x = z 1 x 1 z
2 eleq2 x = z y + 1 x y + 1 z
3 2 raleqbi1dv x = z y x y + 1 x y z y + 1 z
4 1 3 anbi12d x = z 1 x y x y + 1 x 1 z y z y + 1 z
5 dfnn2 = z | 1 z y z y + 1 z
6 5 eqeq2i x = x = z | 1 z y z y + 1 z
7 eleq2 x = 1 x 1
8 eleq2 x = y + 1 x y + 1
9 8 raleqbi1dv x = y x y + 1 x y y + 1
10 7 9 anbi12d x = 1 x y x y + 1 x 1 y y + 1
11 6 10 sylbir x = z | 1 z y z y + 1 z 1 x y x y + 1 x 1 y y + 1
12 nnssre
13 5 12 eqsstrri z | 1 z y z y + 1 z
14 1nn 1
15 peano2nn y y + 1
16 15 rgen y y + 1
17 14 16 pm3.2i 1 y y + 1
18 13 17 pm3.2i z | 1 z y z y + 1 z 1 y y + 1
19 4 11 18 intabs x | x 1 x y x y + 1 x = x | 1 x y x y + 1 x
20 3anass x 1 x y x y + 1 x x 1 x y x y + 1 x
21 20 abbii x | x 1 x y x y + 1 x = x | x 1 x y x y + 1 x
22 21 inteqi x | x 1 x y x y + 1 x = x | x 1 x y x y + 1 x
23 dfnn2 = x | 1 x y x y + 1 x
24 19 22 23 3eqtr4ri = x | x 1 x y x y + 1 x