Theorem imain

Description: The image of an intersection is the intersection of images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009)

	Ref	Expression
Assertion	imain	$$⊢\mathrm{Fun}{F}^{-1}\to F\left[A\cap B\right]=F\left[A\right]\cap F\left[B\right]$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadif	$$⊢\mathrm{Fun}{F}^{-1}\to F\left[A\setminus \left(A\setminus B\right)\right]=F\left[A\right]\setminus F\left[A\setminus B\right]$$
2		imadif	$$⊢\mathrm{Fun}{F}^{-1}\to F\left[A\setminus B\right]=F\left[A\right]\setminus F\left[B\right]$$
3	2	difeq2d	$$⊢\mathrm{Fun}{F}^{-1}\to F\left[A\right]\setminus F\left[A\setminus B\right]=F\left[A\right]\setminus \left(F\left[A\right]\setminus F\left[B\right]\right)$$
4	1 3	eqtrd	$$⊢\mathrm{Fun}{F}^{-1}\to F\left[A\setminus \left(A\setminus B\right)\right]=F\left[A\right]\setminus \left(F\left[A\right]\setminus F\left[B\right]\right)$$
5		dfin4	$$⊢A\cap B=A\setminus \left(A\setminus B\right)$$
6	5	imaeq2i	$$⊢F\left[A\cap B\right]=F\left[A\setminus \left(A\setminus B\right)\right]$$
7		dfin4	$$⊢F\left[A\right]\cap F\left[B\right]=F\left[A\right]\setminus \left(F\left[A\right]\setminus F\left[B\right]\right)$$
8	4 6 7	3eqtr4g	$$⊢\mathrm{Fun}{F}^{-1}\to F\left[A\cap B\right]=F\left[A\right]\cap F\left[B\right]$$