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Theorem isclmi0

Description: Properties that determine a subcomplex module. (Contributed by NM, 5-Nov-2006) (Revised by AV, 4-Oct-2021)

Ref Expression
Hypotheses isclmp.t · ˙ = W
isclmp.a + ˙ = + W
isclmp.v V = Base W
isclmp.s S = Scalar W
isclmp.k K = Base S
isclmi0.1 S = fld 𝑠 K
isclmi0.2 W Grp
isclmi0.3 K SubRing fld
isclmi0.4 x V 1 · ˙ x = x
isclmi0.5 y K x V y · ˙ x V
isclmi0.6 y K x V z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z
isclmi0.7 y K z K x V z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x
isclmi0.8 y K z K x V z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
Assertion isclmi0 W CMod

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isclmp.t · ˙ = W
2 isclmp.a + ˙ = + W
3 isclmp.v V = Base W
4 isclmp.s S = Scalar W
5 isclmp.k K = Base S
6 isclmi0.1 S = fld 𝑠 K
7 isclmi0.2 W Grp
8 isclmi0.3 K SubRing fld
9 isclmi0.4 x V 1 · ˙ x = x
10 isclmi0.5 y K x V y · ˙ x V
11 isclmi0.6 y K x V z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z
12 isclmi0.7 y K z K x V z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x
13 isclmi0.8 y K z K x V z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
14 7 6 8 3pm3.2i W Grp S = fld 𝑠 K K SubRing fld
15 10 ancoms x V y K y · ˙ x V
16 11 3com12 x V y K z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z
17 16 3expa x V y K z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z
18 17 ralrimiva x V y K z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z
19 12 13 jca y K z K x V z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
20 19 3comr x V y K z K z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
21 20 3expa x V y K z K z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
22 21 ralrimiva x V y K z K z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
23 15 18 22 3jca x V y K y · ˙ x V z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z z K z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
24 23 ralrimiva x V y K y · ˙ x V z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z z K z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
25 9 24 jca x V 1 · ˙ x = x y K y · ˙ x V z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z z K z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
26 25 rgen x V 1 · ˙ x = x y K y · ˙ x V z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z z K z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
27 1 2 3 4 5 isclmp W CMod W Grp S = fld 𝑠 K K SubRing fld x V 1 · ˙ x = x y K y · ˙ x V z V y · ˙ x + ˙ z = y · ˙ x + ˙ y · ˙ z z K z + y · ˙ x = z · ˙ x + ˙ y · ˙ x z y · ˙ x = z · ˙ y · ˙ x
28 14 26 27 mpbir2an W CMod