lnrot1

Description: Rotating the points defining a line. Part of Theorem 4.11 of Schwabhauser p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	btwnlng1.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
	btwnlng1.i	$⊢ I = Itv (G)$
	btwnlng1.l	$⊢ L = {Line}_{𝒢} (G)$
	btwnlng1.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
	btwnlng1.x	$⊢ φ \to X \in P$
	btwnlng1.y	$⊢ φ \to Y \in P$
	btwnlng1.z	$⊢ φ \to Z \in P$
	btwnlng1.d	$⊢ φ \to X \neq Y$
	lnrot1.1	$⊢ φ \to Y \in (Z L X)$
	lnrot1.2	$⊢ φ \to Z \neq X$
Assertion	lnrot1	$⊢ φ \to Z \in (X L Y)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnlng1.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
2		btwnlng1.i	$⊢ I = Itv (G)$
3		btwnlng1.l	$⊢ L = {Line}_{𝒢} (G)$
4		btwnlng1.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
5		btwnlng1.x	$⊢ φ \to X \in P$
6		btwnlng1.y	$⊢ φ \to Y \in P$
7		btwnlng1.z	$⊢ φ \to Z \in P$
8		btwnlng1.d	$⊢ φ \to X \neq Y$
9		lnrot1.1	$⊢ φ \to Y \in (Z L X)$
10		lnrot1.2	$⊢ φ \to Z \neq X$
11		eqid	$⊢ dist (G) = dist (G)$
12	1 11 2 4 6 7 5	tgbtwncomb	$⊢ φ \to (Z \in (Y I X) \leftrightarrow Z \in (X I Y))$
13		biidd	$⊢ φ \to (X \in (Z I Y) \leftrightarrow X \in (Z I Y))$
14	1 11 2 4 7 6 5	tgbtwncomb	$⊢ φ \to (Y \in (Z I X) \leftrightarrow Y \in (X I Z))$
15	12 13 14	3orbi123d	$⊢ φ \to ((Z \in (Y I X) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (Z I X)) \leftrightarrow (Z \in (X I Y) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z)))$
16		3orrot	$⊢ (Y \in (Z I X) \lor Z \in (Y I X) \lor X \in (Z I Y)) \leftrightarrow (Z \in (Y I X) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (Z I X))$
17	16	a1i	$⊢ φ \to ((Y \in (Z I X) \lor Z \in (Y I X) \lor X \in (Z I Y)) \leftrightarrow (Z \in (Y I X) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (Z I X)))$
18	1 3 2 4 5 6 8 7	tgellng	$⊢ φ \to (Z \in (X L Y) \leftrightarrow (Z \in (X I Y) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z)))$
19	15 17 18	3bitr4rd	$⊢ φ \to (Z \in (X L Y) \leftrightarrow (Y \in (Z I X) \lor Z \in (Y I X) \lor X \in (Z I Y)))$
20	1 3 2 4 7 5 10 6	tgellng	$⊢ φ \to (Y \in (Z L X) \leftrightarrow (Y \in (Z I X) \lor Z \in (Y I X) \lor X \in (Z I Y)))$
21	19 20	bitr4d	$⊢ φ \to (Z \in (X L Y) \leftrightarrow Y \in (Z L X))$
22	9 21	mpbird	$⊢ φ \to Z \in (X L Y)$

Metamath Proof Explorer

Theorem lnrot1

Proof