mercolem6

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 . (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	mercolem6	$⊢ (φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2	$⊢ ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))$
2		mercolem1	$⊢ ((φ \to (φ \to (ψ \to (φ \to χ)))) \to (φ \to χ)) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))$
3		mercolem1	$⊢ (((φ \to (φ \to (ψ \to (φ \to χ)))) \to (φ \to χ)) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))) \to ((φ \to χ) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))$
4	2 3	ax-mp	$⊢ (φ \to χ) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))$
5		mercolem5	$⊢ φ \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))$
6		mercolem4	$⊢ (φ \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))) \to (((φ \to χ) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))))$
7	5 6	ax-mp	$⊢ ((φ \to χ) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))))$
8	4 7	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))$
9	1 8	ax-mp	$⊢ (φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))$
10		mercolem1	$⊢ ((φ \to (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ))))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))$
11		mercolem1	$⊢ (((φ \to (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ))))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))) \to (((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))))$
12	10 11	ax-mp	$⊢ ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))))$
13		mercolem5	$⊢ (φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))))$
14		mercolem4	$⊢ ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))))) \to ((((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))))))$
15	13 14	ax-mp	$⊢ (((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))))))$
16	12 15	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))))$
17	1 16	ax-mp	$⊢ ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))))$
18	9 17	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))))$
19	1 18	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))))$
20	1 19	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ)))$
21	1 20	ax-mp	$⊢ (φ \to (ψ \to (φ \to χ))) \to (ψ \to (φ \to χ))$

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Theorem mercolem6

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