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Theorem mercolem6

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 . (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion mercolem6 
|- ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 merco2 
 |-  ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) )
2 mercolem1 
 |-  ( ( ( ph -> ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) )
3 mercolem1 
 |-  ( ( ( ( ph -> ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ph -> ch ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ch ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
4 2 3 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ch ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
5 mercolem5 
 |-  ( ph -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
6 mercolem4 
 |-  ( ( ph -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ph -> ch ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) )
7 5 6 ax-mp 
 |-  ( ( ( ph -> ch ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) )
8 4 7 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
9 1 8 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
10 mercolem1 
 |-  ( ( ( ph -> ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
11 mercolem1 
 |-  ( ( ( ( ph -> ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) )
12 10 11 ax-mp 
 |-  ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) )
13 mercolem5 
 |-  ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) )
14 mercolem4 
 |-  ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
15 13 14 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) ) )
16 12 15 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) ) )
17 1 16 ax-mp 
 |-  ( ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) ) )
18 9 17 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) ) )
19 1 18 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
20 1 19 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) )
21 1 20 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( ph -> ch ) ) )