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Theorem mercolem7

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 . (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	mercolem7	$⊢ (φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2	$⊢ ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))$
2		mercolem3	$⊢ ((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to ((φ \to χ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ)))$
3		mercolem6	$⊢ (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to ((φ \to χ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ)))) \to ((φ \to χ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ)))$
4	2 3	ax-mp	$⊢ (φ \to χ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ))$
5		mercolem5	$⊢ φ \to ((φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ)))$
6		mercolem4	$⊢ (φ \to ((φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ)))) \to (((φ \to χ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ)))))$
7	5 6	ax-mp	$⊢ ((φ \to χ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ))))$
8	4 7	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ)))$
9	1 8	ax-mp	$⊢ (φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to (θ \to ψ)) \to (θ \to ψ))$