Theorem ordpss

Description: ordelpss with an antecedent removed. (Contributed by Andrew Salmon, 25-Jul-2011)

	Ref	Expression
Assertion	ordpss	$$⊢\mathrm{Ord}B\to \left(A\in B\to A\subset B\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord	$$⊢\left(\mathrm{Ord}B\wedge A\in B\right)\to \mathrm{Ord}A$$
2	1	ex	$$⊢\mathrm{Ord}B\to \left(A\in B\to \mathrm{Ord}A\right)$$
3	2	ancrd	$$⊢\mathrm{Ord}B\to \left(A\in B\to \left(\mathrm{Ord}A\wedge A\in B\right)\right)$$
4		ordelpss	$$⊢\left(\mathrm{Ord}A\wedge \mathrm{Ord}B\right)\to \left(A\in B\leftrightarrow A\subset B\right)$$
5	4	ancoms	$$⊢\left(\mathrm{Ord}B\wedge \mathrm{Ord}A\right)\to \left(A\in B\leftrightarrow A\subset B\right)$$
6	5	biimpd	$$⊢\left(\mathrm{Ord}B\wedge \mathrm{Ord}A\right)\to \left(A\in B\to A\subset B\right)$$
7	6	expimpd	$$⊢\mathrm{Ord}B\to \left(\left(\mathrm{Ord}A\wedge A\in B\right)\to A\subset B\right)$$
8	3 7	syld	$$⊢\mathrm{Ord}B\to \left(A\in B\to A\subset B\right)$$