Theorem sbccom2

Description: Commutative law for double class substitution. (Contributed by Giovanni Mascellani, 31-May-2019)

	Ref	Expression
Hypothesis	sbccom2.1	$$⊢A\in \mathrm{V}$$
Assertion	sbccom2	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbccom2.1	$$⊢A\in \mathrm{V}$$
2		sbcco	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
3	2	bicomi	$$⊢\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
4	3	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
5		sbcco	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
6	5	bicomi	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
7		vex	$$⊢z\in \mathrm{V}$$
8	7	sbccom2lem	$$⊢\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
9	8	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
10	4 6 9	3bitri	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
11	1	sbccom2lem	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/z⦌⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
12		sbcco	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
13	12	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}⦋A/z⦌⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/z\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}z/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/z⦌⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
14	10 11 13	3bitri	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/z⦌⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
15		csbco	$$⊢⦋A/z⦌⦋z/x⦌B=⦋A/x⦌B$$
16		dfsbcq	$$⊢⦋A/z⦌⦋z/x⦌B=⦋A/x⦌B\to \left(\underset{\dot{}}{[}⦋A/z⦌⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \right)$$
17	15 16	ax-mp	$$⊢\underset{\dot{}}{[}⦋A/z⦌⦋z/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
18	14 17	bitri	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi$$
19		sbccom	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
20	19	sbcbii	$$⊢\underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
21		sbcco	$$⊢\underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/w\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}w/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$
22	18 20 21	3bitri	$$⊢\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}B/y\underset{\dot{}}{]}\phi \leftrightarrow \underset{\dot{}}{[}⦋A/x⦌B/y\underset{\dot{}}{]}\underset{\dot{}}{[}A/x\underset{\dot{}}{]}\phi$$