Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
2 |
|
absle |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ≤ 𝐶 ↔ ( - 𝐶 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ 𝐶 ) ) ) |
3 |
1 2
|
stoic3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ≤ 𝐶 ↔ ( - 𝐶 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ 𝐶 ) ) ) |
4 |
|
renegcl |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → - 𝐶 ∈ ℝ ) |
5 |
|
leaddsub2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ - 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 + - 𝐶 ) ≤ 𝐴 ↔ - 𝐶 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
6 |
4 5
|
syl3an2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 + - 𝐶 ) ≤ 𝐴 ↔ - 𝐶 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
7 |
6
|
3comr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 + - 𝐶 ) ≤ 𝐴 ↔ - 𝐶 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
8 |
|
recn |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ ) |
9 |
|
recn |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ ) |
10 |
|
negsub |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 + - 𝐶 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
11 |
8 9 10
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + - 𝐶 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
12 |
11
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + - 𝐶 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
13 |
12
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 + - 𝐶 ) ≤ 𝐴 ↔ ( 𝐵 − 𝐶 ) ≤ 𝐴 ) ) |
14 |
7 13
|
bitr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( - 𝐶 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ↔ ( 𝐵 − 𝐶 ) ≤ 𝐴 ) ) |
15 |
|
lesubadd2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ) |
16 |
14 15
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( - 𝐶 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ) ) |
17 |
3 16
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ≤ 𝐶 ↔ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ) ) |