Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gcdcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
2 |
|
nn0re |
⊢ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
3 |
|
nn0ge0 |
⊢ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) |
4 |
2 3
|
absidd |
⊢ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ0 → ( abs ‘ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) = ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) |
5 |
1 4
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) = ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) |
6 |
5
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) |
7 |
6
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) |
8 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
9 |
1
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
10 |
|
absmul |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( 𝐾 · ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) ) |
11 |
8 9 10
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → ( abs ‘ ( 𝐾 · ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) ) |
12 |
11
|
3impb |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( 𝐾 · ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) ) |
13 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
14 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
15 |
|
absmul |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑀 ) ) ) |
16 |
|
absmul |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑁 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
17 |
15 16
|
oveqan12d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑀 ) ) gcd ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑀 ) ) gcd ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
18 |
17
|
3impdi |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑀 ) ) gcd ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑀 ) ) gcd ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
19 |
8 13 14 18
|
syl3an |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑀 ) ) gcd ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑀 ) ) gcd ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
20 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 · 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
21 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
22 |
|
gcdabs |
⊢ ( ( ( 𝐾 · 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑀 ) ) gcd ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐾 · 𝑀 ) gcd ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) |
23 |
20 21 22
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑀 ) ) gcd ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐾 · 𝑀 ) gcd ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) |
24 |
23
|
3impdi |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑀 ) ) gcd ( abs ‘ ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐾 · 𝑀 ) gcd ( 𝐾 · 𝑁 ) ) ) |
25 |
|
nn0abscl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( abs ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) |
26 |
|
zabscl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
27 |
|
zabscl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
28 |
|
mulgcd |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 ∧ ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑀 ) ) gcd ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( ( abs ‘ 𝑀 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
29 |
25 26 27 28
|
syl3an |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑀 ) ) gcd ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( ( abs ‘ 𝑀 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
30 |
19 24 29
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) gcd ( 𝐾 · 𝑁 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( ( abs ‘ 𝑀 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
31 |
|
gcdabs |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) |
32 |
31
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) |
33 |
32
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( ( abs ‘ 𝑀 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) |
34 |
30 33
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) gcd ( 𝐾 · 𝑁 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐾 ) · ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) |
35 |
7 12 34
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) gcd ( 𝐾 · 𝑁 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐾 · ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) ) ) |