Theorem abssubge0

Description: Absolute value of a nonnegative difference. (Contributed by NM, 14-Feb-2008)

	Ref	Expression
Assertion	abssubge0	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
2	1	3adant3	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
3		subge0	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝐵 − 𝐴 ) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵 ) )
4	3	biimp3ar	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → 0 ≤ ( 𝐵 − 𝐴 ) )
5		absid	⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
6	2 4 5	syl2anc	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
7	6	3com12	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )