Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) → 𝐴 ∈ Fin ) |
2 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) → 𝐵 ∈ Fin ) |
3 |
|
unfi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ Fin ) |
4 |
1 2 3
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ) → ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ Fin ) |
5 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω ) |
6 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω ) |
7 |
|
elpwi |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝒫 ω → 𝐴 ⊆ ω ) |
8 |
|
elpwi |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝒫 ω → 𝐵 ⊆ ω ) |
9 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω ) → 𝐴 ⊆ ω ) |
10 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω ) → 𝐵 ⊆ ω ) |
11 |
9 10
|
unssd |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω ) → ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ⊆ ω ) |
12 |
7 8 11
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝒫 ω ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 ω ) → ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ⊆ ω ) |
13 |
5 6 12
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ) → ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ⊆ ω ) |
14 |
4 13
|
elpwd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ) → ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ 𝒫 ω ) |
15 |
14 4
|
elind |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ) → ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ) |