Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elinel2 |
|- ( A e. ( ~P _om i^i Fin ) -> A e. Fin ) |
2 |
|
elinel2 |
|- ( B e. ( ~P _om i^i Fin ) -> B e. Fin ) |
3 |
|
unfi |
|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin ) |
4 |
1 2 3
|
syl2an |
|- ( ( A e. ( ~P _om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P _om i^i Fin ) ) -> ( A u. B ) e. Fin ) |
5 |
|
elinel1 |
|- ( A e. ( ~P _om i^i Fin ) -> A e. ~P _om ) |
6 |
|
elinel1 |
|- ( B e. ( ~P _om i^i Fin ) -> B e. ~P _om ) |
7 |
|
elpwi |
|- ( A e. ~P _om -> A C_ _om ) |
8 |
|
elpwi |
|- ( B e. ~P _om -> B C_ _om ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( A C_ _om /\ B C_ _om ) -> A C_ _om ) |
10 |
|
simpr |
|- ( ( A C_ _om /\ B C_ _om ) -> B C_ _om ) |
11 |
9 10
|
unssd |
|- ( ( A C_ _om /\ B C_ _om ) -> ( A u. B ) C_ _om ) |
12 |
7 8 11
|
syl2an |
|- ( ( A e. ~P _om /\ B e. ~P _om ) -> ( A u. B ) C_ _om ) |
13 |
5 6 12
|
syl2an |
|- ( ( A e. ( ~P _om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P _om i^i Fin ) ) -> ( A u. B ) C_ _om ) |
14 |
4 13
|
elpwd |
|- ( ( A e. ( ~P _om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P _om i^i Fin ) ) -> ( A u. B ) e. ~P _om ) |
15 |
14 4
|
elind |
|- ( ( A e. ( ~P _om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P _om i^i Fin ) ) -> ( A u. B ) e. ( ~P _om i^i Fin ) ) |