Theorem addcos

Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007)

	Ref	Expression
Assertion	addcos	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
2		coscl	⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( cos ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ )
3		addcom	⊢ ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( cos ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( ( cos ‘ 𝐵 ) + ( cos ‘ 𝐴 ) ) )
4	1 2 3	syl2an	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( ( cos ‘ 𝐵 ) + ( cos ‘ 𝐴 ) ) )
5		halfaddsub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐴 ∧ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐵 ) )
6	5	simprd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐵 )
7	6	fveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( cos ‘ 𝐵 ) )
8	5	simpld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐴 )
9	8	fveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( cos ‘ 𝐴 ) )
10	7 9	oveq12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( cos ‘ 𝐵 ) + ( cos ‘ 𝐴 ) ) )
11		halfaddsubcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) )
12		coscl	⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
13		coscl	⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
14		mulcl	⊢ ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ∧ ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
15	12 13 14	syl2an	⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
16	11 15	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
17		sincl	⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
18		sincl	⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
19		mulcl	⊢ ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ∧ ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
20	17 18 19	syl2an	⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
21	11 20	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
22	16 21 16	ppncand	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
23		cossub	⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
24		cosadd	⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
25	23 24	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) )
26	11 25	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) )
27	16	2timesd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
28	22 26 27	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
29	4 10 28	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )