Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
affineequiv.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
2 |
|
affineequiv.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
3 |
|
affineequiv.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
4 |
|
affineequiv.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ ) |
5 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
6 |
5 4
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
7 |
6 2
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
8 |
4 3
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
9 |
7 8
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐶 ) ) = ( ( 𝐷 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐵 ) ) ) |
10 |
9
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐶 ) ) ↔ 𝐴 = ( ( 𝐷 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐵 ) ) ) ) |
11 |
3 1 2 4
|
affineequiv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 = ( ( 𝐷 · 𝐶 ) + ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐷 · ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
12 |
1 2
|
negsubdi2d |
⊢ ( 𝜑 → - ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
13 |
12
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = - ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
14 |
13
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐷 · ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ↔ - ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 · ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
15 |
3 2
|
negsubdi2d |
⊢ ( 𝜑 → - ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
16 |
15
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐶 ) = - ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝐷 · - ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
18 |
3 2
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
19 |
4 18
|
mulneg2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · - ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = - ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
20 |
17 19
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = - ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
21 |
20
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( - ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 · ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ↔ - ( 𝐴 − 𝐵 ) = - ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) ) |
22 |
1 2
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
23 |
4 18
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
24 |
22 23
|
neg11ad |
⊢ ( 𝜑 → ( - ( 𝐴 − 𝐵 ) = - ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) ) |
25 |
14 21 24
|
3bitrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐷 · ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) ) |
26 |
10 11 25
|
3bitrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 = ( ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐶 ) ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) ) |