Theorem avglt2

Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014)

	Ref	Expression
Assertion	avglt2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
2	1	recnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
3		2times	⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 2 · 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐵 ) )
4	2 3	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐵 ) )
5	4	breq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐵 ) ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐵 + 𝐵 ) ) )
6		readdcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
7		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
8		2pos	⊢ 0 < 2
9	7 8	pm3.2i	⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 )
10	9	a1i	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) )
11		ltdivmul	⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐵 ) ) )
12	6 1 10 11	syl3anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐵 ) ) )
13		ltadd1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐵 + 𝐵 ) ) )
14	13	3anidm23	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐵 + 𝐵 ) ) )
15	5 12 14	3bitr4rd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ) )