Theorem axcgrtr

Description: Congruence is transitive. Axiom A2 of Schwabhauser p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013)

	Ref	Expression
Assertion	axcgrtr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ∧ ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) → ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqtr2	⊢ ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) )
2		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
3		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
4		simpl3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
5		simpr1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
6		brcgr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
7	2 3 4 5 6	syl22anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
8		simpr2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
9		simpr3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
10		brcgr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
11	2 3 8 9 10	syl22anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
12	7 11	anbi12d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ∧ ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) ↔ ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) )
13		brcgr	⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
14	4 5 8 9 13	syl22anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
15	12 14	imbi12d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ∧ ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) → ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) ↔ ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) )
16	1 15	mpbiri	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ∧ ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) → ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) )
17	16	3adant1	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ∧ ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) → ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ Cgr ⟨ 𝐸 , 𝐹 ⟩ ) )